Regelungstechnik: Zwischenwerte berechnen Verbessertes Regelverhalten

Redakteur: Silvano Böni

>> Die Vorteile modellbasierter Regler wurden bereits in einem früheren Artikel dargestellt (siehe SMM Ausgabe 11). Es wurde dort das Beispiel eines Temperaturreglers und die Problematik der Totzeit in Regelsystemen erläutert. Es konnte gezeigt werden, dass der Einsatz von Modellen zu einer wesentlichen Verbesserung im Regelverhalten führt. Nachfolgend eine zweite typische Anwendung von Modellen in der Mess- und Regelungstechnik.

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Ein typisches und bekanntes Beispiel einer Messdatenerfassung ist der Kilometerzähler beim Fahrrad.
Ein typisches und bekanntes Beispiel einer Messdatenerfassung ist der Kilometerzähler beim Fahrrad.
(Bild: Stettbacher)

Die Erfassung von Messdaten erfolgt in manchen Fällen nicht synchron mit dem Regeltakt, gelegentlich auch überhaupt nicht äquidistant in der Zeit. Ein Regler wäre aber auf aktuelle und regelmässig erfasste Istwerte angewiesen. Mit Hilfe eines Modells können aber die benötigten Zwischenwerte berechnet werden.

Ein typisches und bekanntes Beispiel ist der Kilometerzähler beim Fahrrad. Er liefert nur einmal pro Radumdrehung einen Zähl-Impuls. Der zeitliche Abstand zwischen zwei Zählimpulsen ist zudem abhängig von der Fahrgeschwindigkeit. Beim langsamen Fahren tritt nur selten ein Impuls auf, so dass man in der Zwischenzeit keine Information über den exakten Fahrweg erhält.

Wenn der Radumfang U bekannt ist, so kann für jeden Zählimpuls die gefahrene Strecke s[k] zum Zeitpunkt des k-ten Impulses aus der folgenden Gleichung ermittelt werden: s[k] = k x U.

Typisch sind Motoranwendungen

In industriellen Anwendungen gibt es zahlreiche Messsysteme, die sich sehr ähnlich verhalten wie der Kilometerzähler. Klassische Beispiele sind digitale A/B-Drehgeber oder Resolver, wie sie in fast allen Motoranwendungen vorkommen. Um nun auch in der Zeitspanne zwischen den Zählimpulsen einen aktuellen Positionswert zur Verfügung zu haben, gibt es verschiedene Ansätze. Der einfachste Ansatz geht davon aus, dass sich die Position zwischen zwei Zählimpulsen nicht ändert. Bei dieser Annahme sind keine weiteren Massnahmen notwendig. In vielen Fällen ist jedoch die resultierende Treppenfunktion sehr störend und verhindert eine befriedigende Regelung.

Ausgefeiltere Verfahren nutzen neben den Positionsdaten jedoch auch die aktuelle Geschwindigkeit und allenfalls sogar die Beschleunigung, um genauere Positionswerte zu liefern. Nachfolgend ein Fall, bei dem die Geschwindigkeit berücksichtigt wird. Man nennt dies eine Lösung 1. Ordnung, weil die Berechnung einer Differenzialgleichung erster Ordnung entspricht. Entsprechend ist der oben erwähnte, einfachste Ansatz eine Lösung nullter Ordnung.

Die Geschwindigkeit v[k] kann man mit Hilfe der Differenzzeit T [k] zwischen den Zählimpulsen mit den Nummern k und k-1 berechnen als:

Die Interpolation erster Ordnung des aktuellen Weges zur Zeit t nach dem Zählimpuls k ist dann:

Dabei wurde der Weg als sk(t) bezeichnet, um anzuzeigen, dass der Weg von der kontinuierlichen Zeit t und dem Zählimpuls k abhängt. Die Abbildung zeigt in schwarz einen tatsächlichen Positionsverlauf.

Die blaue Kurve zeigt die Positionsschätzung nullter Ordnung, also mit einer konstanten Position zwischen den Zählimpulsen. Da, wo die blaue Kurve zur schwarzen springt, tritt jeweils ein Zählimpuls auf. In Rot ist die Schätzung erster Ordnung dargestellt und in Magenta jene zweiter Ordnung. Man erkennt sofort, dass der Schätzungsfehler der Position zwischen zwei Zählimpulsen mit der Ordnung abnimmt. Die Interpolation zweiter Ordnung verdeckt die schwarze Kurve schon weitgehend. Allerdings wird der Gewinn mit steigender Ordnung immer kleiner. Auch das ist in der Abbildung ersichtlich.

Selbstverständlich sind die interpolierten Positionsschätzungen nie ganz genau. Das Modell weiss beispielsweise nichts davon, ob sich im aktuellen Intervall die Geschwindigkeit oder Beschleunigung weiter verändert. Daher gibt es bei jedem Zählimpuls eine Korrektur, so dass die Schätzung auf den wahren Wert zurückspringt. Die resultierenden Zacken, die in der roten Kurve der Abbildung gut erkennbar sind, lassen sich jedoch mit einem geeigneten Tiefpassfilter gut wegglätten.

Fazit: Verbessertes Reglerverhalten

Bedenkt man, dass die Geschwindigkeit die Ableitung der Position ist und dass die Beschleunigung die nochmalige Ableitung davon ist, so erkennt man den mathematischen Hintergrund der zuvor erläuterten Interpolation. Das Modell entspricht in diesem Fall einer Taylorreihe TN der Ordnung N, welche die Positionsfunktion sk(t) an der Stelle des k-ten Zählimpulses annähert.

Dabei ist s' k(0) = v[k] die ermittelte Geschwindigkeit bei Auftreten des k-ten Zählimpulses und sk"(0) die Beschleunigung im selben Zeitpunkt. Typischerweise wählt man die Ordnung N zwischen eins und drei. Der Aufwand der mathematischen Berechnung ist abhängig von dieser Wahl. Da jedoch keine Gleichungssysteme gelöst werden müssen, ist der Rechenaufwand ohnehin recht klein. Mit Hilfe eines derartigen Modells lassen sich die unregelmässig anfallenden Positionswerte auf die jeweiligen Zeitpunkte des Reglertakts umrechnen. Selbstverständlich ist dasselbe Verfahren auf jede Art von Messgrössen anwendbar. Dies führt gesamthaft zu einer exakteren Messung, zu weniger Totzeit und damit zu einem deutlich verbesserten Reglerverhalten. <<

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